Diagrama de Venn

Ejercicios: 

1) 120 personas consumian:

54 consumian R
40 consumian C
40 consumian A
12 consumian C y R
10 consumian C y A
16 consumian R y A
7 consumian R, C y A

Éste es el diagrama de Venn:


Explicación:
Recordemos las frases:

120 personas consumian:
54 consumian R
40 consumian C
40 consumian A
12 consumian C y R
10 consumian C y A
16 consumian R y A
7 consumian R, C y A 

Y en el siguiente orden fui poniendo los números en las zonas. Si quieres seguir el razonamiento que hice, te conviene ir poniendo de a uno los números y ver cómo va quedando el diagrama en cada momento:

- Primero puse el 7. Por la frase: "7 consumian R, C y A", la cual me dice que el 7 va en la zona de la intersección de los tres conjuntos.

- Luego puse el 5. Por la frase: "12 consumían C y R". Al tener puesto el 7, en la intersección de C y R queda una sola zona vacía, donde tienen que ir sí o sí: 12 - 7 = 5. 

- Luego puse el 3. Por la frase: "10 consumían C y A". Al tener puesto el 7, en la intersección entre C y A queda una sola zona vacía, donde tiene que ir: 10 - 7 = 3.

- Luego puse el 9. Por la frase: "16 consumían R y A". Al tener puesto el 7, en la intersección entre R y A queda una sola zona vacía, donde tiene que ir: 16 - 7 = 9.

- Luego, el 33. Por la frase: "54 consumían R". Al tener puestos el 7, el 5 y el 9, queda una sola zona vacía en R, donde hay que poner: 54 - 7 - 5 - 9 = 33.

- Luego el 25. Por la frase: "40 consumían C". Al tener puestos el 7, el 3 y el 5, queda una sola zona vacía en C, donde hay que poner: 40 - 7 - 5 - 3 = 25.

- Luego el 21. Por la frase: "40 consumían A". Al tener puestos el 7, el 3 y el 9, queda una sola zona vacía en A, donde hay que poner: 40 - 7 - 3 - 9 = 21.

- Y por último el 17. Porque como son en total 120 personas las que consumen, pero en los conjuntos hay solamente: 33 + 5 + 7 + 9 + 25 + 3 + 21 = 103, tiene que haber algunas personas que no consumen ninguno de los productos R, C y A. Ellos son: 120 - 103 = 17.

2)  En una encuesta realizada a 200 personas acerca del consumo de 3 productos A,B y C revelño los sgts datos:

126 personas consumian C
124 personas no consumian A
36 personas no consumian ni A ni B
170 personas consumian por los menos uno de los 3 productos.
60 personas consumian A y C.
40 personas consumian los 3 productos.
56 personas no consumian B.

a.-¿cuantas personas consumian solamente B?
b.-¿cuantas personas consumian A y B?
c.-¿cuantas personas consumian solamente A?


Y las respuestas son:
a- 28 consumían solamente B
b- 56 consumían A y B
c- 76 consumían solamente A


Pasos que seguí para completar el diagrama:

Recordemos los datos:

200 personas en total. El conjunto Universal tiene 200.
126 personas consumian C 
124 personas no consumian A 
36 personas no consumian ni A ni B 
170 personas consumian por los menos uno de los 3 productos. 
60 personas consumian A y C. 
40 personas consumian los 3 productos. 
56 personas no consumian B. 


1) Primero puse el 40 en la intersección de los tres conjuntos. En una primera leída a las frases, me dí cuenta de que hay dos que sirven para determinar el número de una "zona" del gráfico: Son "40 personas consumian los 3 productos", y "170 personas consumian por los menos uno de los 3 productos". Empecé por la de las 40 personas porque me pareció más fácil. Si 40 consumían los 3 productos, el número 40 va en la zona de intersección de los 3 conjuntos.

2) Después puse el 20. Porque una vez puesto el 40, me sirve la frase: "60 personas consumían A y C". En la intersección entre A y C ya hay 40, si en total son 60, faltan: 60 - 40 = 20.

3) Puse el 30. No encontraba otra frase que sirva, así que ahora usé la otra que servía en el primer paso: "170 personas consumian por los menos uno de los 3 productos". Eso quiere decir que dentro de todos los conjuntos hay en total 170 personas. No es una sola zona del gráfico, pero, sí lo es la zona que está por afuera de los conjuntos. Si en total eran 200 personas, y dentro de los conjuntos hay 170, por afuera hay: 200 - 170 = 30 personas. Esa zona es el "complemento" de AUBUC. 

4) Puse el 6. La frase que sirvió fue: "36 personas no consumian ni A ni B". Quiere decir que por fuera de los conjuntos A y B tiene que haber en total 36. Y ya hay 30 por afuera de los tres conjuntos, queda una única zona que es la parte del conjunto C que no se junta con A ni con B. Allí van entonces: 36 - 30 = 6 personas.

5) Puse el 60. Porque ahora quedó vacía sólo una zona de C. Entonces sirve la frase "126 personas consumian C". 126 - 20 - 40 - 6 = 60.

6) Puse el 28. La frase que sirvió fue: "124 personas no consumian A". Ya que por afuera de A sólo quedaba una zona vacía. En esa zona entonces van: 124 - 20 - 40 - 6 - 30 = 28.

7) Puse el 0. La frase que sirvió fue: "56 personas no consumian B". Ya que por afuera de C me quedaba una sola zona vacía. Allí van: 56 - 20 - 60 - 30 = 0 personas.

8) Puse el 16. Para la única zona que quedó vacía, tuve de nuevo en cuenta la frase que habla del total que hay entre los 3 conjuntos: "170 personas consumian por los menos uno de los 3 productos". Entonces allí van: 170 - 40 - 20 - 60 - 6 - 28 = 16. (También podría haber usado que en total son 200).

Ejercicio 3

De un grupo de 1352 turistas que visitan México se encuentra que:
.- 935 de ellos visitaron las momias de Guanajuato
.- 955 el museo de antropología
.- 925 las pirámides de Teotihuacán
.- 35 fueron a las pirámides, pero no al museo ni a Guanajuato
.- 80 fueron al museo, pero no a las pirámides ni a Guanajuato
.- 120 estuvieron en Guanajuato pero no fueron ni a las pirámides ni al museo
.- 590 estuvieron en Guanajuato y Teotihuacán
.- 350 estuvieron en los 3 lugares.

Indique cuantas de estas personas asistieron a:

a) Exactamente a uno de estos lugares

b) Exactamente a 2 lugares 

c) Al menos a un lugar 

d) Cuando mucho a 2 lugares 

e) A lo más a uno de los lugares 

Algunas frases se refieren a varias zonas del diagrama, pero siempre se puede encontrar alguna que indique con certeza que número va en una sola zona de éste. Llamo "zona" a cada una de esas partes en que quedan divididos los conjuntos.

CÓMO COMPLETAR EL DIAGRAMA DE VENN:

Voy a llamar G al conjunto de los visitantes a Guanajuato, P al conjunto de los que fueron a las pirámides, y M al de los que fueron al museo.

La primera frase, por ejemplo, no sirve para saber con exactitud con qué número llenar una zona. Porque el conjunto G está dividido en 4 partes, y no podemos saber cuántos de esos 935 visitantes van en cada una de esas partes. Lo mismo pasa con la segunda frase, que se refiere a todo el conjunto M, y con la tercera frase, que se refiere al conjunto P. Esas frases nos dan el total que hay en los conjuntos, pero no en cada pedazo, así que para empezar no nos van a servir.

En cambio la cuarta frase: "35 fueron a las Pirámides, pero no al Museo ni al Guanajuato", me está diciendo que en la zona del conjunto P que no se cruza con ninguno de los otros conjuntos, va el número 35. Así que puedo empezar poniendo ese número:

Luego, con la quinta frase: "80 fueron al Museo, pero no a las Pirámides ni a Guanajuato", pasa lo mismo: Me dice que en la zona de M que no se cruza con los otros conjuntos, va el número 80. Pero a partir de aquí no voy a poner un diagrama para cada número que agregue, porque serían demasiadas imágenes. Ahora te muestro el diagrama completo, es decir, ya terminado. Pero te recomiendo que vayas llenando el diagrama número por número a medida que te lo voy diciendo aquí, para que vayas entendiendo cómo tenía el diagrama cada vez que agregué un número:

 Diagrama completo 

Bueno, en los dos primeros paso puse el 35 y el 80, como ya te conté. Ahora te sigo mostrando los pasos:

- Luego puse el 120. Porque la frase: "120 estuvieron en Guanajuato, pero no fueron a las Pirámides ni al Museo, me está diciendo que en la zona del conjunto G que no se cruza con los otros conjuntos, van 120 personas.

- Luego puse el 350. Porque usé la frase: "350 estuvieron en los tres lugares". Eso me dice que hay que poner 350 personas en la zona donde se cruzan (interceptan) los tres conjuntos.

- Después puse el 240. Porque la frase que dice: "590 estuvieron en Guanajuato y en Teotihuacan", me está indicando que en la intersección de los conjuntos G y P, hay en total 590 personas. Pero ya puse 350 en una de esas partes. Así que en la otra, van:
590 - 350 = 240 personas.

Intersección entre G y P 

- En la parte pintada de celeste es donde van las personas que fueron a Guanajuato y a Teotihuacan. Ves que son dos "zonas". En una ya teníamos el 350, y la frase dice que en total allí van 590 personas. Entonces en la zona de la izquierda van: 590 - 350 = 240. 

- Si me vas siguiendo número por número, ya tienes que tener puesto el 120, el 240 y el 350 (además del 80, pero aquí no interesa). Entonces puedes observar que del conjunto C queda una sola zona vacía. Y resulta que la primera frase: "935 visitaron la momias de Guanajuato", me está diciendo que el total del conjunto G tiene 935 personas. Es decir que, en la única zona de G que quedó vacía, tenemos que poner: 935 - 350 - 120 - 240 = 225 personas.

- Pero ahora puedes ver que quedó una sola zona vacía del conjunto M. Y la segunda frase que dice: "955 fueron al Museo de antropología", me está indicando que en total hay 955 personas en M. Entonces, en la única zona vacía de M deben ir: 955 - 225 - 350 - 80 = 300. 

Ya los 3 conjuntos quedaron llenos, pero la frase: "925 estuvieron en la Pirámides de Teotihuacan", me sirve para confirmar si todo va bien: La suma de las 4 zonas en que está dividido el conjunto P, debe dar 925. Sumo: 240 + 350 + 300 + 35 = 925. Está bien.

- Lo único que falta ver es si va algo por afuera de los conjuntos. Esa zona representa a los turistas que no visitaron ninguno de los 3 sitios. Como al comienzo del ejercicio dice que son 1352 turistas, veamos cuántos turistas hay entre todos los conjuntos:

120 + 225 + 350 + 240 + 300 + 35 + 80 = 1350

Los que visitaron alguno de los sitios son sólo 1350. Pero en total eran 1352. Quiere decir que hay algunos que no fueron a ningún sitio: 1352 - 1350 = 2. Por eso va el número 2 por afuera de los conjuntos.

LAS RESPUESTAS A LAS PREGUNTAS:

Una vez que tienes el diagrama completo con los números que van en cada zona (tenélo a la vista todo el tiempo), puedes contestar todas las preguntas:

1)    ¿Cuántas personas asistieron exactamente a uno de esos lugares?

Esas personas son: 120 + 80 + 35 = 235 (fíjate dónde están los números esos en el diagrama). Porque si sólo asistieron a un lugar, tienen que estar en las zonas de cada conjunto que no se cruza con ningún otro. Asistieron sólo a G (120), sólo a M (80) ó sólo a P (35). Por eso sumé esos números.

2)    ¿Cuántas asistieron exactamente a dos lugares?

Eso está representado en las partes donde se cruzan los conjuntos de a dos, pero no la zona donde se cruzan los 3, porque dice "exactamente". (Qué bien vendría poner una imagen de cada cosa, pero son demasiadas imágenes, lo siento). Los números que hay en esas zonas son: 240 + 225 + 300 = 765

3)    ¿Cuántas asistieron al menos a un lugar?

"Al menos a un lugar" significa que fueron a 1, 2 o los 3 lugares. Son todos las personas que están dentro de los conjuntos. Ya había hecho la cuenta antes, y dio 1350.

4)    Cuando mucho a dos lugares:

Se refiere a las que fueron a un lugar, a dos lugares, o a ninguno. Esas son todas las 1352 personas, menos las que están en la intersección de los tres (350), porque esas fueron a los 3 lugares. Entonces son: 1352 - 350 = 1002.

5)    A lo más (o a lo sumo) a uno de los lugares:

Son las que fueron a un solo lugar, o a ninguno. En la pregunta 1) vimos cuántas fueron exactamente a un solo lugar: 235. Y a ninguno fueron 2 (las que están por afuera de los conjuntos). Así que son: 235 + 2 = 237.

Ejercicio 4

100 dueños

56 dueños de F
35 dueños de D
29 dueños de C
12 dueños de ninguno
14 dueños de D y F
Ninguno era dueño de los 3
16 dueños de C y F

- Primero puse el 12. Por la frase: "12 dueños de ninguno". Eso significa que el 12 va en la zona exterior de los conjuntos F, D y G. Es el complemento de FUDUG.

- Después puse el 0. Por la frase: "Ninguno era dueño de los 3". Eso significa que en la zona de intersección de los tres conjuntos va el 0. 

- Luego, el 14. Por la frase: "14 dueños de D y F". Al tener puesto el 0, en la intersección de D y F queda una sola zona vacía, donde debe ir: 14 - 0 = 14.

- Luego, el 16. Por la frase: "16 dueños de C y F". Al tener puesto el 0, en la intersección de C y F queda una sola zona vacía, donde debe ir: 16 - 0 = 16.

- Luego puse el 26. Por la frase: "56 dueños de F". Al tener puestos el 14, el 0 y el 16, quedó una sola zona vacía en el conjunto F, donde deben ir: 56 - 14 - 0 - 16 = 26.

Pero ahora, las frases que quedan no me dicen a ciencia cierta que número poner en una sola zona. Por ejemplo: "35 dueños de D" no me sirve, porque en D me quedan dos zonas vacías. Lo mismo con "29 dueños de C". Para mí, alguien se olvidó de copiar una frase. Pero bueno, igual se puede hacer, pero planteando ecuaciones. Te muestro el diagrama con las incógnitas:

Tenemos que averiguar qué números van en la zonas X, Y y Z. Pero:

- Por la frase: "35 dueños de D", y los números que ya pusimos, tenemos que:

 X + Y + 14 + 0 = 35

- Por la frase: "29 dueños de C", y los números que ya pusimos, tenemos que:

X + Z + 16 + 0 = 29

- Y por la frase: "100 dueños", y los números que ya pusimos, tenemos que:

X + Y + Z + 26 + 14 + 16 + 12 = 100

Con esas 3 ecuaciones podemos armar un sistema de muy sencilla resolución. Pero primero voy a reducir en lo posible a las ecuaciones

X + Y + 14 + 0 = 35
X + Y = 35 - 14
X + Y = 21 

X + Z + 16 + 0 = 29
X + Z = 29 - 16
X + Z = 13

X + Y + Z + 26 + 14 + 16 + 12 = 100
X + Y + Z + 68 = 100 
X + Y + Z = 100 - 68
X + Y + Z = 32 

En este sistema ya puedo encontrar una de las incógnitas, y con una sola ya me alcanza para seguir llenando el diagrama:

X + Y = 21 
X + Z = 13
X + Y + Z = 32

En la última ecuación, reemplazo X + Y por 21, ya que así dice la primera ecuación:

X + Y + Z = 32
21 + Z = 32
Z = 32 - 21
Z = 11

- Así que en la zona Z, que era la zona que quedaba vacía del conjunto C, va el número 11.

- Luego puse el 2. Por la frase: "29 dueños de C". Porque al tener puestos los números 16, 0 y 11, queda una sola zona vacía en el conjunto C, donde deben ir: 29 - 16 - 0 - 11 = 2

- Luego puse el 19. Por la frase: "35 dueños de D". Porque al tener puestos los números 14, 0 y 2, queda una sola zona vacía en el conjunto D, donde deben ir: 35 - 14 - 0 - 2 = 19 

5)   En el colegio experimental de aplicacion se ha evaluado a 1200 alumnos
en las asignaturas de Lenguaje, Biologia y Matematica y, se ha
obtenido el siguiente resultado:

a) 680 alumnos aprobaron Lenguaje
b) 230 alumnos aprobaron  solamente Biologia 
c) 400 alumnos aprobaron solo lenguaje
d) 50 alumnos aprobaron lenguaje y biologia, pero no matematica
e) 170 alumnos aprobaron biologia y matematica, pero no lenguaje.
f) 40 alumnos aprobaron biologia, lenguaje y matematica

¿Cuantos alumnos aprobaron solo matematica?

SOLUCIÓN:

La respuesta al problema es: 120 alumnos aprobaron sólo Matemática. 
Y eso se puede deducir construyendo el siguiente "diagrama de Venn" a 
partir de los datos que te dieron. Es lo que en general se usa para 
resolver un problema de este tipo:



El diagrama y la respuesta son lo que tienes que presentar como 
solución de ese ejercicio. Pero ahora te explico cómo lo hice, para que 
puedas entenderlo y hacer así otros ejercicios similares:


EXPLICACIÓN:

En el diagrama están representados los 3 conjuntos:

L = alumnos que aprobaron Lenguaje
B = alumnos que aprobaron Biología
M = alumnos que aprobaron Matemática

En el dibujo puedes ver que los conjuntos se cruzan. Esto es porque 
hay alumnos que aprobaron más de una materia. De seguro ya conoces 
esto de los conjuntos porque habrán visto algunos ejemplos en clase.
El orden en que fui completando el diagrama es el siguiente:

1) Puse el número 400. Como el problema dice que 400 alumnos 
aprobaron sólo Lenguaje, el 400 va en la zona del conjunto L donde no 
se cruza con ninguno de los otros conjuntos. En esa zona hay seguro 
400 alumnos.


2) Puse el número 50. Como dice que 50 alumnos aprobaron Biología y 
Lenguaje pero no Matemática, el 50 va en la zona donde se cruzan B y 
L, pero no se cruza con M.


3) Puse el número 40. Como dice que son 40 los alumnos que aprobaron 
las tres materias, el 40 va en la zona central, donde se cruzan los tres conjuntos.


4) Puse el número 190. Aquí es donde se complica un poco la cosa y 
hay que pensar un poquito más. Como el problema dice que son 680 los 
que aprobaron Lenguaje, y yo ya había puesto el 400, el 50 y el 40, 
sólo quedaba una zona vacía de L. En esa única zona que quedaba de L 
debían ir si o sí los alumnos que faltaban para completar los 680 que 
aprobaron Lenguaje:

680 - 50 - 40 = 190




5) Puse el 170. Como dice que 170 aprobaron Biología y Matemática, 
pero no Lenguaje, lo puse en la zona donde se cruza B con M pero no 
con L.


6) Llegado a este punto es donde me dí cuenta que algo andaba mal en 
el enunciado. Porque 50 + 40 + 170 = 260. Eso sobrepasa los 230 que 
parecía decir el problema que en total habían aprobado Biología. No 
pueden ser sólo 230 los que en total aprobaron Biología, porque hay al 
menos 260 en ese conjunto según los puntos d), e) y f). El punto b) 
del enunciado debe tomarse como: "230 alumnos aprobaron solamente 
Biología". De otro modo, ese punto se contradice con los puntos d), e) 
y f), y la situación no tiene solución posible. Tuve que asumir entonces 
que al enunciado le faltaba la palabra "solamente". Entonces puse el 
230 en la zona de B donde no se cruza con ningún otro conjunto.


7) Sólo quedó vacía la zona de M que no se cruza con ningún otro. 
Como eran en total 1200 alumnos, y todos aprobaron alguna materia, 
todos están representados dentro de los "globos". Para calcular 
cuántos van en la zona vacía tuve que hacer:

1200 - 190 - 40 - 170 - 50 - 400 - 230 = 120

Y justamente éso es lo que nos piden que calculemos, ya que esa zona 
representa a los alumnos que aprobaron solamente Matemática: 120 
alumnos.


¿Por qué fui haciéndolo en ese orden?

Bueno, en estos problemas hay que usar un poco la lógica y/o el ingenio. Se trata de encontrar entre los datos aquellos para los que se tenga una sola posibilidad de acción, es decir que haya una sola zona posible donde poner el número. Por ejemplo, no me servía empezar con el dato:

a) "680 alumnos aprobaron Lenguaje"

porque eso abarca 4 zonas del diagrama (las 4 "partecitas" en que se divide L). Y no hay forma de saber desde el principio cómo repartir esos 680 en las cuatro zonas.
En cambio el dato:

c) "400 alumnos aprobaron sólo Lenguaje"

no me daba otra opción que poner el 400 en una zona sola posible, donde L no se cruza con ningún otro conjunto.

Así, hay que ir buscando los datos que den una sola posibilidad. Y luego de colocar algunos números, también se reducen las posibilidades y algún dato que al principio no servía luego termina dando también una sola posibilidad. No digo que sea fácil: a veces hay que pensar. Espero que este ejemplo te sirva de guía para saber cómo encarar otros ejercicios similares.


ADICIONAL: LO QUE REPRESENTA CADA ZONA DEL DIAGRAMA

Por si no tienes claro eso, aquí te numeré todas las zonas y te explico qué representa cada una de ellas:



Zona 1: Los alumnos que aprobaron solamente Lenguaje.
Zona 2: Aprobaron Lenguaje y Biología, pero no Matemática
Zona 3: Biología solamente
Zona 4: Biología y Matemática, pero no Lenguaje.
Zona 5: Aprobaron las 3 materias: Lenguaje, Biología y Matemática.
Zona 6: Lenguaje y Matemática, pero no Biología.
Zona 7: Matemática solamente.
Zona 8: No aprobaron ninguna de las 3 materias (en este problema no 
hay ningún alumno en esa zona).

Ejercicio 6

Durante el mes de abril, una empresa ha fabricado diariamente productos del tipo A o del tipo B (o ambos), excepto 4 domingos durante los cuales no ha fabricado nada. Sabiendo que 15 días del mes ha fabricado A, y 20 días ha fabricado B.

a) ¿cuántos días del mes ha fabricado ambos productos?
b) ¿cuántos días del mes ha fabricado sólo productos del tipo A?
c) ¿cuántos días del mes ha fabricado sólo productos del tipo B?

R.
a) 9 días; b) 6 días; c) 11 días.

Explicación:

El dato de los 4 domingos puede volcarse directamente en el diagrama. Obviamente existieron días en que se fabricaron ambos productos, pues de lo contrario abril tendría 39 días. Luego, dado que abril sólo tiene 30 días debieron haber 9 días en que se fabricaron ambos productos. Por diferencia de este número con 15 y con 20 se obtuvieron 6 y 11 respectivamente.